R프로그래밍 강좌 - [12] [기초통계] 기술 통계학

1. 통계학의 종류 
(1) 기술 통계학
  - 데이터를 요약해 설명하는 통계기법이다.
  - 자료를 분석하려면 수많은 숫자와 문자의 이면에 있는 경향이나 특징을 파악해야한다.
    이를 위해 수집한 자료를 정리해 표로 나타내야 하는데 이를 기술 통계학이라 한다. 
  - 기술통계학에서는 자료정리를 표로 나타내며 자료의 제시는 그래프로 표현한다.

  1) 비율
  - 전체에서 개개의 요소가 어느 정도의 비율을 차지하는가를 보면 그 요소의 중요성이나 영향력을 알 수있다.
  - 주로 백분율로 나타낸다. 띠그래프, 누적 막대그래프, 원그래프로 항목들을 표현한다.
 
  
  ※ 띠그래프 

 ?mtcars

attach(mtcars)

par(mfrow=c(2,2))

stripchart(hp) #method="overplot" (디폴트)

stripchart(gear, method="stack", col="blue")

stripchart(gear, method="jitter")

stripchart(hp ~ gear)

par(mfrow=c(1,1))

 ※ 누적 막대그래프

counts <- table(mtcars$cyl, mtcars$gear)

counts

 

barplot(counts, col=c("blue","red","yellow"),legend=rownames(counts),xlab="Number of Gears")

 

 ※ 원그래프
    

b<- c(2,4,5,7,12,14,16)

pie(b, main="My PieChart",

    col=rainbow(length(b)),

    labels = c("Mon","Tue","Wed","Thu","Tri","Sat","Sun"))

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
install.packages("plotrix")

library(plotrix)

slices <- c(10,12,4,16,8)

lbls<- c("US","UK","Australia","Germary","France")
#3차원 파이 차트

pie3D(slices,

      labels=lbls,

      explode=0.1, #조각간격

      main="Pie Chart of Countries")

 

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


radial.pie(slices,labels=lbls, radlab = T)








  2)상관 관계
  - 자료의 항목이 2개 이상인 항목을 이용하면 조사항목 간의 관계를 파악할 수 있다. 
  - 두 변량 중 한 쪽이 증가함에 따라, 다른 한 쪽이 증가 또는 감소할 때 두 변량 관계를 말한다
  - 양의 상관 : 2개의 자료항목에서 한쪽이 증가하면 다른쪽도 증가하는 관계를 양의 상관이라한다.
  - 음의 상관 : 2개의 자료항목에서 한쪽이 증가하면 다른쪽은 감소하는 관계를 음의 상관이라한다.
  - 산포도, 상관도로 항목들을 표현한다.





  3)분포(분산)
  - 많은요소로 이루어진 자료에서 그 흩어진 상태를 정리해 표로 나타낸 것이 도수분포표이다. 그 표를 그래프로 
    나타낸것이 히스토그램이다.
  - 분산된 데이터를 비교하는 데 편리한 것이 상자 수염 그림이다.
  - 측정값을 작은 순서로 늘어 놓았을때 전체의 작은 쪽부터 25%의 값을 1사분위수, 50%의 값을 2사분위(중간값),
    75%의 값을 3사분위수라 하고 합해서 사분위수라 한다.

 ※ 히스토그램
 

bmi<- rnorm(n=1000,m=25,sd=2)

hist(bmi,freq=FALSE) #freq=FALSE는 y축을 상대도수(밀도)로 함



 

 

hist(bmi,freq = F,xlab ="Body Mass Index",main="Distribution of Body Mass Index",

     col="lightgreen", xlim=c(15,35), ylim=c(0, .20))

 
 ※ 상자 수염 그림


boxplot(mtcars$hp, ylab="HOrse Power")

f<-fivenum(mtcars$hp) #다섯-숫자요약(최솟,최댓,중앙,제1사분위,제3사분위)

text(rep(1.3,5),f,labels=c("최솟값","제1사분위수","중앙값","제3사분위수","최대값"))

 

    

 

  

 4)자료의 대표값
  - 평균값 : 자료의 데이터를 평평하게 고른 값이 평균값이다.
  - 중앙값 : 값을 크기순으로 늘어놓았을때 가장 중간에 오는 수치를 말한다.
                데이터 크기가 짝수일때는 한가운데 2개를 취하고 이를 2로 나눈 수치가 중앙값이다.
   
    1, 2, 3, 4, 5 => 3(중앙값)
    1, 2, 3, 4, 5, 6 => 3+4/2 = 7/2 = 3.5(중앙값) 
 
  - 최댓값과 최솟값 : 자료 중 가장 큰 값과 가장 작은 값이다.
  - 최빈값 : 가장 많이 관찰된 값
  - 표준편차와 사분위수 범위 : 자료들이 퍼저 있는 정도이다.


5)편차와 분산

- 편차 : 데이터에서 평균값을 뺀 값으로 자료 속의 각 데이터가 어느 정도 평균값에서 벗어났는지를 나타낸다.
          편차의 합과 평균은 항상 0인 특성을 가진다. 이런 성질을 이용하여 자유도란 개념을 생각해 볼 수 있다.

- 자유도 : n개의 자료가 있을 때 그들의 편차 중 (n-1)개는 원하는 값을 마음대로 가질 수 있는데 이를 자유도라 한다.

  편차1 -> 10, 편차2-> 20, 편차3-> ? 일때 ? 값은 편차의 합이 0이라는 특성을 이용하여 -30을 가질수 밖에 없다.
  이처럼 편차1,편차2는 아무런 값을 가져도 되지만, 편차3은 특정한 값이 되다.
  

- 편차 제곱의 평균을 통계에선 분산이라 하며, 분산의 제곱근을 표준편차라 한다.

- 분산 : 흩어진 정도를 표현하는 지표이다.


6) 표준편차
- 표준편차 :  통계에서 분산의 제곱근을 표준편차라 한다.
- 평균 -> 편차(데이터-평균) -> 분산(편차 제곱의 평균) -> 표준편차(분산의 제곱근)

# 개별 관찰값과 평균과의 차이에 대한 평균(편차)

height <- c(164, 166, 168, 170, 172, 174, 176)

( height.m <- mean( height ) )

( height.dev <- height - height.m )

sum( height.dev )

-------------------------------------------------------

> height <- c(164, 166, 168, 170, 172, 174, 176)

> ( height.m <- mean( height ) ) #평균

[1] 170

> ( height.dev <- height - height.m ) #관찰값 - 평균 :편차

[1] -6 -4 -2  0  2  4  6

> sum( height.dev )  #편차의 합계는 항상 0 :편차이 특성

[1] 0

# 편차 제곱의 평균(분산)

( height.dev2 <- height.dev ^ 2 ) #편차의 제곱

sum( height.dev ^ 2 ) / length( height.dev ) #편차 제곱의 평균(분산) 

mean( height.dev ^ 2 ) #편차 제곱의 평균(분산)

--------------------------------------------------------

> ( height.dev2 <- height.dev ^ 2 )

[1] 36 16  4  0  4 16 36

> sum( height.dev ^ 2 ) / length( height.dev )

[1] 16

> mean( height.dev ^ 2 )

[1] 16

 

 

# 표준편차(분산의 제곱근)

sqrt( mean( height.dev ^ 2 ) ) #분산의 제곱근 (표준편차)

-----------------------------------------------------------

> sqrt( mean( height.dev ^ 2 ) )

[1] 4

 

 

# R 함수를 이용한 분산과 표준편차

var( height )

sd( height )
-------------------------------------------------------------

> var( height )

[1] 18.66667

> sd( height )

[1] 4.320494

> 

※ 위의 편차제곱의 평균(분산)값과 R의 var()의 분산 결과값이 다르다. 이유는,
   R에서 var()의 분산계산은 모집단의 특성을 유추하는 표본의 특성이 갖춰야 할 중요한 성질을 만족하기 위해 분산(or 표준편차)의 계산에서
   표본의 갯수가 아닌 자유도로 나누기 때문이다. n이 아닌 (n-1)로 나누었다.

- 표준편차의 크기비교를 통해 자료의 퍼진 정도를 비교할 수 있다.
- 두 자료에서 표준편차가 작은 자료(점선)는 평균을 중심으로 표준편차가 큰 경우보다 몰려 있고 높이가 높은 반면,
  표준편차가 큰 자료(실선)가 평균을 중심으로 퍼진 정도가 더 크다 (= 자료의 변동 폭이 더 크다)






7) 변동계수

- 앞서 두자료의 단위가 동일하고 평균이 같은 경우이기에 직접 비교가 가능하지만, 두자료의 단위가 다르거나 평균이 다른 자료들의
  퍼진 정도를 비교할 경우 변동계수를 사용한다.
- 평균과 표준편차가 서로 다른 두 데이터를 비교하기 위해 만들어 진 개념이다. (예:키,몸무게 예: 커피, 주스 판매량)
- 변동계수는 평균에 대한 표준편차의 비율로서 변동계수가 클수록, 즉 표준편차가 표본평균에 비해 클수록 자료의 퍼진 정도가 더 
  크다고 한다.

- 변동 계수(coefficient of variation, C.V.)는 표준 편차()를 산술 평균()으로 나눈 것이다
 
     
- 변동계수 구하기
  커피 판매량과 주스판매량 자료로 부터 표준편차를 구하고, 어떤 음료가 판매량의 변동이 더 큰지 알아보기 위해 변동계수를 구한다.

# 데이터에 결측치가 포함되어 있을 경우 R의 NA에 대응시킬 값을 지정한다.
# 기본값은 "NA"로, "na"로 저장된 문자열들은 R의 NA로 저장된다. - na.strings="na"
ranicafe <- read.csv("./data/cafedata.csv", header=T, na.strings="na", stringsAsFactors=FALSE )
ranicafe <- na.omit(ranicafe)
str(ranicafe)

# 변동계수

rc <- ranicafe$Coffees

rj <- ranicafe$Juices

( rc.m <- mean( rc ) )

( rc.sd <- sd( rc ) )

( rj.m <- mean( rj ))

( rj.sd <- sd( rj ) )

( rc.cv <- round( rc.sd / rc.m, 3) )

( rj.cv <- round( rj.sd / rj.m, 3) )

-----------------------------------------------------------

> ( rc.m <- mean( rc ) )

[1] 21.51064

> ( rc.sd <- sd( rc ) )

[1] 11.08048

> ( rj.m <- mean( rj ))

[1] 4.93617

> ( rj.sd <- sd( rj ) )

[1] 3.703138

> ( rc.cv <- round( rc.sd / rc.m, 3) )

[1] 0.515

> ( rj.cv <- round( rj.sd / rj.m, 3) )

[1] 0.75

- 위내용은 주스판매량의 변동계수가 커피판매량의 변동계수보다 크다.



8) 표준화 

- 기준이 다른 데이터를 비교하기 위해서 표준화를 한다.
- 예를 들어 A대학에 모든 학생의 토익점수와 토플점수에 대한 두 시험을 비교하려고 할대 하나는 총점이 990이고
  하나는 120점이기 때문에 두 시험을 비교하기 쉽지 않다.
- 이때 비교하기 위한 방법이 두 시험의 점수를 표준화 시키는 것이다.
- 표준화 하는 방법은 평균을 0으로 이동하여 모든 값도 같이 움직이면서 0을 기준으로 데이터들이 위치하게 된다.
  그다음 각각의 값을 표준편차로 나눠준다. 그러면 표준편차는 1이 된다.
- 이렇게 평균이 0, 표준편차가 1로 만드는 것을 표준화라 부른다.
- 만점이 서로 달라 평균이 전혀 다른 두 시험을 비교하고 싶을 때 두 데이터를 표준화 하면 두 데이터 모두 평균은 0이 
  되며 서로 달랐던 표준편차는 1이 되기 때문에 서로 비교가 가능해진다.
 

-z 점수 표준화 : (특정값-평균)/표준편차

- 모든 데이터의 원소에 상응하는 z점수를 구할때  R에서 scale함수(벡터,행렬,데이터프레임 에서 작동함)를 사용한다.

#붓꽃의 꽃받침 길이의 z점수(표준화) 구하기

scale(iris$Sepal.Length)

             :
             :

[141,]  1.03453895

[142,]  1.27606556

[143,] -0.05233076

[144,]  1.15530226

[145,]  1.03453895

[146,]  1.03453895

[147,]  0.55148575

[148,]  0.79301235

[149,]  0.43072244

[150,]  0.06843254

attr(,"scaled:center")

[1] 5.843333

attr(,"scaled:scale")

[1] 0.8280661

- 위의 center는 평균, scale은 표준편차를 나나타내다.

- 특정값을 정규화 하려면 다음과 같이 벡터화된 연산을 사용한다.

> iris$Sepal.Length[150]

[1] 5.9

> (5.9-mean(iris$Sepal.Length))/sd(iris$Sepal.Length)

[1] 0.06843254

(2) summary 함수 
- summary함수는 데이터의 요약된 통계정보( 벡터,  행렬, 요인, 데이터 프레임등에 대한 유용한 통계량)를 보여준다.
- iris는 붓꽃의 3가지 종(setosa, versicolor, virginica)에 대해 꽃받침(sepal)과 꽃잎(petal)의 길이를 정리한 데이터다.
  R에 기본으로 내장되어 있고, 이해하기 쉬우며 크기가 작은 데이터다. 

> summary(iris)

  Sepal.Length    Sepal.Width     Petal.Length    Petal.Width   

 Min.   :4.300   Min.   :2.000   Min.   :1.000   Min.   :0.100  

 1st Qu.:5.100   1st Qu.:2.800   1st Qu.:1.600   1st Qu.:0.300  

 Median :5.800   Median :3.000   Median :4.350   Median :1.300  

 Mean   :5.843   Mean   :3.057   Mean   :3.758   Mean   :1.199  

 3rd Qu.:6.400   3rd Qu.:3.300   3rd Qu.:5.100   3rd Qu.:1.800  

 Max.   :7.900   Max.   :4.400   Max.   :6.900   Max.   :2.500  

       Species  

 setosa    :50  

 versicolor:50  

 virginica :50  

- 벡터 요약: 사분위수, 중앙값, 평균
- 행렬 요약: 열 단위로 표시
- 요인 요약: 수준별 도수 표시
- 데이터 프레임 요약: 기능(벡터, 행렬, 요인)을 모두 사용 가능

-  lapply(x,fun,..) : list apply, 리스트에 지정한 함수를 적용

   x : 대상 리스트 객체

   fun:적용할 함수명

   ..:함수에서 사용할 인수

> lapply(as.list(iris),summary)

$Sepal.Length

   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 

  4.300   5.100   5.800   5.843   6.400   7.900 

 

$Sepal.Width

   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 

  2.000   2.800   3.000   3.057   3.300   4.400 

 

$Petal.Length

   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 

  1.000   1.600   4.350   3.758   5.100   6.900 

 

$Petal.Width

   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 

  0.100   0.300   1.300   1.199   1.800   2.500 

 

$Species

    setosa versicolor  virginica 

        50         50         50